Μονοτονία και Ακρότατα

Με αφορμή την είσοδο μας στο 2ο κεφάλαιο της άλγεβρας της Β΄ Λυκείου στη Μονοτονία και τα Ακρότατα συνάρτησης  μέρικα παραδείγματα εφαρμογής.

Πώς τα Μαθηματικά Μας Βοηθούν να Βρίσκουμε το Καλύτερο

Όταν λέμε ότι μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα όταν όσο μεγαλώνει το x, μεγαλώνει κι εκείνη. Αν πάλι όσο μεγαλώνει το x, η τιμή της μικραίνει, τη λέμε γνησίως φθίνουσα.
Τα ακρότατα (μέγιστα και ελάχιστα) είναι τα σημεία όπου η συνάρτηση «φτάνει κάπου» — είτε στο πιο ψηλό σημείο της (μέγιστο), είτε στο πιο χαμηλό (ελάχιστο).

Αυτές οι δύο ιδέες, βρίσκονται πίσω από πολλές τεχνολογίες που χρησιμοποιούμε κάθε μέρα.

Παρακάτω έχουμε δύο παραδείγματα που πλέον βρίσκονται στην καθημερινότητα όλων μας και αξίζει να γνωρίζουμε πως δουλεύουν από «πίσω από τη σκηνή».

Τεχνητή Νοημοσύνη

Όταν ένας υπολογιστής «μαθαίνει», προσπαθεί να βελτιώσει τα αποτελέσματά του.
Για παράδειγμα, ένα πρόγραμμα ή μία εφαρμογή που αναγνωρίζει πρόσωπα θέλει να μειώσει τα λάθη του.
Στην πράξη, αυτό σημαίνει πως ψάχνει το ελάχιστο σημείο μιας μαθηματικής συνάρτησης που μετράει τα λάθη.

Αν η συνάρτηση μειώνεται (είναι φθίνουσα) όσο πλησιάζουμε στη σωστή λύση, τότε το πρόγραμμα ξέρει ότι πάει καλά.
Αν όμως έχει πολλά «βουναλάκια» (τοπικά ακρότατα), μπορεί να νομίζει ότι έφτασε στο καλύτερο σημείο, ενώ υπάρχει καλύτερο πιο πέρα.

Με απλά λόγια, η μηχανή κάνει αυτό που κάνουμε κι εμείς: δοκιμάζει, βλέπει αν «ανεβαίνει» ή «κατεβαίνει» και σταματά όταν φτάσει στο χαμηλότερο σημείο – εκεί που κάνει τα λιγότερα λάθη.

"Απληστοι" αλγόριθμοι

Στους λεγόμενους greedy αλγορίθμους (δηλαδή «άπληστους»), ο υπολογιστής επιλέγει σε κάθε βήμα τη λύση που φαίνεται καλύτερη εκείνη τη στιγμή.
Αυτό λειτουργεί μόνο όταν η συνάρτηση που εξετάζει έχει μονοτονία — όταν δηλαδή η «καλή κατεύθυνση» είναι σταθερή.

Αν η συνάρτηση ανεβαίνει και κατεβαίνει συνεχώς, τότε ο αλγόριθμος μπορεί να μπερδευτεί και να σταματήσει σε λάθος σημείο.

Ένα απλό παράδειγμα: όταν ψάχνουμε τη γρηγορότερη διαδρομή στο GPS, το πρόγραμμα πρέπει να ξεχωρίζει ποιο μονοπάτι όντως «οδηγεί προς τα κάτω» (δηλαδή σε μικρότερο χρόνο). Εκεί η ιδέα της μονοτονίας είναι καθοριστική.